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    <title>向量与坐标系</title>
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<body>

<p>	这里将要研究的是 2 维以及 3 维 Euclid 空间 `E^2` 与 `E^3`,
	通过向量的概念及其性质,
	以及高等代数中关于向量空间的结论, 首先建立几何空间的仿射坐标系,
	刻画其<b>线性结构</b> (基, 线性相关, 线性无关); 既而,
	运用向量的内积与外积, 刻画其<b>度量结构</b> (角度, 距离, 面积, 体积).
</p>

<h2>向量及其线性运算</h2>

<h3>基本概念</h3>

<p class="definition">
	既有大小, 又有方向的量称为<b>向量</b>或<b>矢量</b>, 用符号 `bm a, bm
	b, bm c, cdots` 或 `vec a, vec b, vec c` 表示.
</p>

<p class="remark">
	向量 `bm a` 可以用一条有向线段 `vec(AB)` 表示, 用其长度 `|AB|`
	表示向量的大小, 用 `A` 到 `B` 的指向表示向量的方向,
	记为 `vec(AB) = bm a`.
	不过向量不等同于有向线段, 它仅仅是 "大小" 与 "方向"
	两个概念的集合, 即, 如果两个向量的大小与方向都相等, 则它们是同一向量.
	因此, 若把 `vec(AB)` 平行移动, 得到的有向线段 `vec(CD)`
	仍表示同一向量. 记 `vec(AB) = vec(CD)`.
</p>

<p class="definition">
	向量 `bm a` 的大小又称为<b>长度</b>或<b>模</b>, 记为 `|bm a|`.
	称长度为 0 的向量为<b>零向量</b>, 记为 `bb 0`. 零向量的方向不确定:
	我们规定它与任意向量都是同向的. 称长度为 1 的向量为<b>单位向量</b>.
	称长度与 `bm a` 相等, 方向与 `bm a` 相反的向量为 `bm a`
	的<b>反向量</b>, 记为 `-bm a`. 例如, `vec(BA) = -vec(AB)`.
</p>

<p class="remark">
	我们考虑的向量总是属于某一集合的. 比如, 属于 2 维或 3 维 Euclid 空间
	(`E^2` 或 `E^3`).  这一集合称为<b>向量空间</b>.
	下面将引出向量的两种线性运算——加法与数乘, 联系高等代数的知识可以知道,
	向量空间是典型的线性空间.
</p>

<h3>向量的加法</h3>

<p class="definition">
	<b>三角形法则</b>
	设有向量 `bm a, bm b`, 选择一起点 `A`, 作有向线段 `vec(AB) = bm a`,
	`vec(BC) = bm b`, 则称 `vec(AC)` 表示的向量为 `bm a` 与 `bm b`
	的<b>和</b>, 即
	<span class="formula">
		`vec(AB) + vec(BC) = vec(AC)`.
	</span>
</p>

<p class="remark">
	若另取一个起点 `A_1`, 作 `vec(A_1 B_1) = bm a`, `vec(B_1 C_1) = bm b`,
	容易说明 `vec(A_1 C_1)` 与 `vec(AC)` 表示同一个向量.
	因此向量的加法与起点选择无关.
</p>

<p class="remark">
	也可以选取起点 `O`, 作 `vec(OA) = bm a`, `vec(OB) = bm b`, 再以 `OA`
	和 `OB` 为邻边作平行四边形 `OACB`. 容易说明对角线 `vec(OC) = bm a + bm
	b`. 这称为向量加法的<b>平行四边形</b>法则.
</p>

<ol class="corollary">
	<b>向量加法的性质</b> 设 `bm a, bm b, bm c` 是任意向量, 则它们满足
	<li>结合律. `(bm a + bm b) + bm c = bm a + (bm b + bm c)`;</li>
	<li>交换律. `bm a + bm b = bm b + bm a`;</li>
	<li>加法零元. `bm a + bb 0 = bm a`;</li>
	<li>加法逆元. `bm a + (-bm a) = bb 0`.</li>
	总之, 向量空间关于向量的加法成一 Abel 群.
</ol>

<p class="definition">
	向量 `bm a, bm b` 的减法定义为
	<span class="formula">
		`bm a - bm b = bm a + (-bm b)`.
	</span>
</p>

<p class="theorem">
	<b>三角不等式</b>
	对任意向量 `bm a, bm b`,
	<span class="formula">
		`  | |bm a| - |bm b| |
		le |bm a + bm b|
		le |bm a| + |bm b|`.
	</span>
</p>

<h3>向量的数乘</h3>

<p class="definition">
	实数 `lambda` 与向量 `bm a` 的<b>数乘</b>运算结果为一向量,
	它的大小定义为
	<span class="formula">
		`|lambda bm a| = |lambda| |bm a|`,
	</span>
	当 `lambda gt 0` 时, 定义 `lambda bm a` 的方向与 `bm a` 相同,
	`lambda lt 0` 时则与 `bm a` 相反.
</p>

<ol class="corollary">
	<b>向量数乘的性质</b>
	设 `bm a, bm b` 是任意向量, `lambda, mu in RR`, 则
	<li>`lambda (bm a + bm b) = lambda bm a + lambda bm b`;</li>
	<li>`(lambda + mu) bm a = lambda bm a + mu bm a`;</li>
	<li>`(lambda mu) bm a = lambda (mu bm a)`;</li>
	<li>`1 bm a = bm a`.</li>
	于是, 向量空间关于向量的加法与数乘成一线性空间.
</ol>

<p class="corollary">
	对任意向量 `bm a`, `|0 bm a| = bb 0`; 对任意实数 `lambda`, `lambda bb
	0 = bb 0`.
</p>

<p class="corollary">
	设向量 `bm a != bb 0`, 则向量 `(bm a)/|bm a|` 与 `bm a` 同向,
	且长度为 1. 称这一计算过程为 `bm a` 的<b>单位化</b>.
</p>

<h3>线性相关与线性无关</h3>

<p class="definition">
	设 `bm a_1, cdots, bm a_n` 是一组向量,
	`k_1, cdots, k_n` 是一组实数, 则 `k_1 bm a_1 + cdots + k_n
	bm a_n` 是一个向量, 称为向量组 `bm a_1, cdots, bm a_n`
	的一个<b>线性组合</b>. 称向量组 `bm a_1, cdots, bm a_n`
	<b>线性相关</b>, 如果存在不全为零的系数 `k_1, cdots, k_n`, 使得
	<span class="formula">
		`sum_(i=1)^n k_i bm a_i = bb 0`.
	</span>
	否则称该向量组<b>线性无关</b>.
</p>

<p class="definition">
	用同一起点的有向线段表示向量组中的每个向量. 若这些有向线段在同一直线
	(同一平面) 上, 则称这个向量组是<b>共线的 (共面的)</b>.
	向量共线也称为<b>平行</b>, 记为 `bm a //// bm b`.
</p>

<p class="corollary">
	`bb 0` 与任意向量共线; 共线的向量组必共面; 两个向量一定共面.
</p>

<p class="theorem">
	向量 `bm a, bm b` 共线当且仅当 `bm a, bm b` 线性相关.
</p>

<p class="theorem">
	向量 `bm a, bm b, bm c` 共面当且仅当 `bm a, bm b, bm c` 线性相关.
</p>

<p>	向量的线性运算可以用来解决点的共线或共面问题,
	直线的共点问题以及线段的定比分割问题.
</p>

<p class="example">
	设点 `O` 是任意一点. 证明: 点 `M` 在线段 `AB` 上当且仅当存在非负实数
	`lambda, mu` 满足
	<span class="formula">
		`vec(OM) = lambda vec(OA) + mu vec(OB)`, 且 `lambda + mu = 1`.
	</span>
	这时也称 `vec(OM)` 是 `vec(OA)` 与 `vec(OB)` 的凸组合.
</p>

<p class="example">
	设点 `O` 是任意一点. 证明: 点 `A, B, C` 共线当且仅当存在不全为零为实数
	`lambda, mu, nu`, 使得
	<span class="formula">
		`lambda vec(OA) + mu vec(OB) + nu vec(OC) = bb 0`, 且
		`lambda + mu + nu = 0`.
	</span>
</p>

<h2>几何空间的线性结构</h2>

<p>	几何空间 `V` 是空间中所有点的集合. 取定一点 `O`, 则几何
	空间中的任一点 `M` 对应于向量 `vec(OM)`. 事实上,
	对平移后能够重合的向量不加区分,
	则几何空间 `V` 中的点与向量空间 `E^3` 中的向量是一一对应的.
</p>

<h3>仿射坐标系与直角坐标系</h3>

<p class="definition">
	称 `E^3` 中任意三个线性无关向量 `{bm d_1, bm d_2, bm d_3}`
	为 `E^3` 的一个<b>基</b>. 对任意 `bm x in E^3`, 若 `bm x`
	能表示为基的线性组合, 即 `EE x_i in RR`, `i = 1, 2, 3`,
	<span class="formula">
		`bm x = sum_(i=1)^3 x_i bm d_i`.
	</span>
	则称三元有序实数组 `(x_1, x_2, x_3)` 为 `bm x` 在基 `{bm d_1, bm
	d_2, bm d_3}` 下的<b>仿射坐标</b>, 简称<b>坐标</b>.
	在仿射坐标给定 (或隐含给定) 的情况下, 简记为 `bm x = (x_1, x_2, x_3)`.
</p>

<p class="theorem" id="the-frame-exist-unique">
	<b>仿射坐标的存在唯一性</b>
	取定 `E^3` 的一个基, 则 `E^3`
	中的任意向量在这个基下的的仿射坐标存在唯一.
</p>

<p>	考虑到向量与点的一一对应关系, 我们有:</p>

<p class="definition">
	`V` 中的一个点 `O` 与一个基 `{bm d_1, bm d_2, bm d_3}`
	合在一起称为 `V` 的一个<b>仿射标架</b>或<b>仿射坐标系</b>,
	记为 `{O";" bm d_1, bm d_2, bm d_3}`.
	其中 `O` 称为<b>原点</b>.
	把过原点 `O`, 且分别以 `bm d_1, bm d_2, bm d_3` 为方向的有向直线称为
	`x` 轴, `y` 轴, `z` 轴, 统称为<b>坐标轴</b>.
	每两根坐标轴决定的平面称为<b>坐标平面</b>, 即 `xy`, `yz`, `zx` 平面.
	坐标平面把空间分为八个部分, 称为八个卦限, 在每个卦限内,
	点的坐标的符号不变.
	将右手拇指以外的四指从 `x` 轴方向弯向 `y` 轴方向, 且转角小于 `pi` 时,
	如果拇指所指的方向与 `z` 轴方向在 `xy` 平面同侧,
	则称此坐标系为<b>右手系</b>, 否则称为<b>左手系</b>.
</p>

<p class="definition">
	设 `X in V`, 定义<b>点 `X` 的仿射坐标</b>为它的<b>定位向量</b>
	`vec(OX)` 在基 `{bm d_1, bm d_2, bm d_3}` 下的仿射坐标
	`(x_1, x_2, x_3)`.
	在仿射坐标给定 (或隐含给定) 的情况下, 简记为 `X(x_1, x_2, x_3)`.
</p>

<p class="definition">
	如果 `bm e_1, bm e_2, bm e_3` 两两垂直, 且都是单位向量, 则称
	`{O";" bm e_1, bm e_2, bm e_3}` 为一个<b>正交标架</b>或<b>直角标架</b>,
	或<b>直角坐标系</b>. 显然 `bm e_1, bm e_2, bm e_3` 不共面,
	因此直角标架是特殊的仿射标架.
</p>

<p>	平面上的仿射坐标系与直角坐标系也可以类似地建立起来.</p>

<h3>向量线性运算的坐标表示</h3>

<ol>取定仿射标架 `{O";" bm d_1, bm d_2, bm d_3}`, 设 `bm a` 的坐标是
	`(a_1, a_2, a_3)`, `bm b` 的坐标是 `(b_1, b_2, b_3)`, 则
	<li>`bm a +- bm b` 的坐标是 `(a_1 +- b_1, a_2 +- b_2, a_3 +- b_3)`;
	</li>
	<li>设 `lambda in RR`, `lambda bm a` 的坐标是 `(lambda a_1, lambda
		a_2, lambda a_3)`.
	</li>
</ol>

<p class="theorem">
	向量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标.
</p>

<p class="proof">
	考虑向量 `vec(BA)`, 设 `A, B` 的坐标分别是 `(a_1, a_2, a_3)`,
	`(b_1, b_2, b_3)`, 它们也分别是 `vec(OA)`, `vec(OB)` 的坐标.
	所以 `vec(BA) = vec(OA) - vec(OB)` 的坐标是 `(a_1 - b_1, a_2 - b_2,
	a_3 - b_3)`.
</p>

<h2>向量的内积</h2>

<h3>射影和分量</h3>

<ul class="definition">
	设 `bb 0 != bm d in E^3`, 取平面 `pi` 垂直于 `bm d`,
	在 `pi` 内取一组基 `bm d_1, bm d_2`.
	由<a class="ref" href="#the-frame-exist-unique"></a>,
	任意 `bm a in E^3` 可以唯一地分解成
	<span class="formula">
		`bm a = x bm d_1 + y bm d_2 + z bm d`.
	</span>
	记 `bm a_1 = z bm d`, `bm a_2 = x bm d_1 + y bm d_2`, 易知
	`bm a_1 //// bm d`, `bm a_2 _|_ bm d`.
	称 `bm d` 所在直线为<b>轴</b>, `pi` 为<b>射影平面</b>.
	<li>称 `bm a_1` 是 `bm a` 沿方向 `bm d` 的<b>内射影</b>或 `bm a`
		<b>在轴上的正投影</b>, 记为 `cc P_(bm d)(bm a)`;
		实数 `z` 称为 `bm a` 沿方向 `bm d` 的<b>分量</b>, 记为
		`Pi_(bm d)(bm a)`;
	</li>
	<li>称 `bm a_2` 是 `bm a` 沿方向 `bm d` 的<b>外射影</b>或 `bm a`
		<b>在射影平面上的正投影</b>.
	</li>
</ul>

<p class="theorem">
	设 `bb 0 != bm d in E^3`, 则 `bm a in E^3` 沿 `bm d` 的分量为
	<span class="formula">
		`Pi_(bm d)(bm a) = |bm a| cos (:bm a, bm d:)`,
	</span>
	`(:bm a, bm d:)` 是向量 `bm a` 与 `bm d` 之间的夹角.
	<!-- 之前没有出现过夹角的概念 ? -->
</p>

<p class="theorem">
	内射影是从空间到轴上的线性变换,
	分量是从空间到 `RR` 的线性映射.
	设 `bm a, bm b in E^3`, `lambda in RR`, 则
	<span class="formula">
		`cc P_(bm d)(bm a + bm b) = cc P_(bm d)(bm a) + cc P_(bm d)(bm
		b)`, `quad cc P_(bm d)(lambda bm a) = lambda cc P_(bm d)(bm a)`.
	</span>
	<span class="formula">
		`Pi_(bm d)(bm a + bm b) = Pi_(bm d)(bm a) + Pi_(bm d)(bm b)`,
		`quad Pi_(bm d)(lambda bm a) = lambda Pi_(bm d)(bm a)`.
	</span>
</p>

<h3>向量内积的定义与性质</h3>

<p class="definition">
	<b>内积</b>定义为一个映射 `(*): V xx V to RR`:
	<span class="formula">
		`bm a * bm b = |bm a| |bm b| cos (:bm a, bm b:)`.
	</span>
	`bm a` 和 `bm b` 中有一个为 `bb 0` 时, 规定 `bm a * bm b = 0`.
</p>

<ol class="corollary" id="cor-inner-product">
	<li>若 `bm a != bb 0`, 则 `bm a * bm b = 
		bm a * cc P_(bm a)(bm b) = |bm a| Pi_(bm a)(bm b)`;
	</li>
	<li>`|bm a| = sqrt(bm a * bm a)`;</li>
	<li>若 `bm a, bm b != bb 0`, 则 `cos (:bm a, bm b:) = (bm a * bm
		b)/(|bm a| |bm b|)`;
	</li>
	<li>`bm a _|_ bm b` 当且仅当 `bm a * bm b = 0`
		(零向量与任意向量都垂直).
	</li>
</ol>

<p class="remark">
	<a class="ref" href="#cor-inner-product"></a>的 1
	揭示了内积与分量的联系; 由 2 和 3 可见, 内积与空间中的长度和角度有关.
</p>

<ol class="theorem" id="the-inner-product-property">
	内积是正定的对称双线性函数. 设 `bm a, bm b, bm c in E^3`,
	`lambda in RR`, 则它们满足
	<li>正定性 `bm a * bm a ge 0`, 等号成立当且仅当 `bm a = bb 0`;</li>
	<li>对称性. `bm a * bm b = bm b * bm a`;</li>
	<li>线性性.
		`(bm a + bm b) * bm c = bm a * bm c + bm b * bm c`,
		`quad (lambda bm a) * bm b = lambda (bm a * bm b)`.
	</li>
</ol>

<p class="remark">
	在一般的 Euclid 空间或内积空间中, 往往先以<a class="ref"
		href="#the-inner-product-property"></a>定义内积, 再由
	`|bm a| = sqrt(bm a * bm a)` 定义范数.
	见高等代数和泛函分析.
</p>

<ol class="example">
	<li>平行四边形四边长度的平方和 = 对角线长度的平方和;</li>
	<li>设三角形三边长为 `a`, `b`, `c`, 边 `a` 上的中线长为 `m_a`,
		则 `4m_a^2 = 2(b^2+c^2)-a^2`;
	</li>
	<li>任意四边形四边长的平方和 = 对角线长的平方和 `+4 xx`
		对角线中点连线长的平方.
	</li>
</ol>

<ol class="proof">
	证明:
	<li>设 `bm a`, `bm b` 是平行四边形的一对邻边, 则
		<span class="formula">
			`|bm a + bm b|^2 + |bm a - bm b|^2`
			`= (bm a + bm b) * (bm a + bm b)
			+ (bm a - bm b) * (bm a - bm b)`
			`= 2|bm a|^2 + 2|bm b|^2`.
		</span>
	</li>
	<li>倍长中线可证.</li>
	<li>设四边形 `ABCD` 的对角线 `AC` 的中点是 `M`, 对角线 `BD` 的中点是
		`N`. 在三角形 `NAC`, `ABD` 和 `CBD` 中分别应用 2. 的结论:
		<span class="formula">
			`4 MN^2 = 2(AN^2 + CN^2) - AC^2`,<br/>
			`4 AN^2 = 2(AB^2 + AD^2) - BD^2`,<br/>
			`4 CN^2 = 2(CB^2 + CD^2) - BD^2`.
		</span>
		将后两式相加代入第一式, 消去 `AN^2 + CN^2`, 得
		<span class="formula">
			`AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2 + 4MN^2`
		</span>
	</li>
</ol>

<h3>向量内积的坐标表示</h3>

<h4>仿射标架</h4>

<p> 取定仿射标架 `{O";" bm d_1, bm d_2, bm d_3}`, `bm a = (a_1, a_2, a_3)`,
	`bm b = (b_1, b_2, b_3)`, 则
	<span class="formula">
		` bm a * bm b
		= (sum_(i=1)^3 a_i bm d_i) * (sum_(j=1)^3 b_j bm d_j)
		= sum_(i=1)^3 sum_(j=1)^3 a_i b_j bm d_i * bm d_j`.
	</span>
	因此只要知道 `bm d_1, bm d_2, bm d_3` 之间的内积 (9 个数, 由对称性,
	实质上只有 6 个数), 就可以求出任意两个向量的内积. 这 9
	个数称为仿射标架 `{O";" bm d_1, bm d_2, bm d_3}` 的<b>度量参数</b>.
</p>

<h4>正交标架</h4>

<p>	特别当所取的仿射标架为正交标架 `{O";" bm e_1, bm e_2, bm e_3}` 时,
	<span class="formula">
		`bm e_i * bm e_j = delta_(ij)`, `i, j = 1, 2, 3`.
	</span>
	其中 `delta_(ij) = { 1, if i = j; 0, if i != j :}`
	称为<b>Kroneker 符号</b>.
	因此在正交标架下,
	<span class="formula">
		`bm a * bm b = sum_(i=1)^3 a_i b_i`.
	</span>
	联系<a class="ref" href="#cor-inner-product"></a>,
	在正交标架下, 向量 `bm a = (a_1, a_2, a_3)` 的长度为
	<span class="formula">
		`|bm a| = sqrt(sum_(i=1)^3 a_i^2)`,
	</span>
	空间中两点 `X(x_1, x_2, x_3)`, `Y(y_1, y_2, y_3)` 的距离为
	<span class="formula">
		`|vec(XY)| = sqrt(sum_(i=1)^3 (x_i - y_i)^2)`.
	</span>
</p>

<h4>方向角, 方向余弦</h4>

<p>	取正交标架 `{O";" bm e_1, bm e_2, bm e_3}`,
	任取向量 `bm a = sum_(j=1)^3 a_j bm e_j`, 两边与 `bm e_i` 作内积得
	<span class="formula">
		` bm a * bm e_i = sum_(j=1)^3 a_j bm e_i * bm e_j
		= sum_(j=1)^3 a_j delta_(ij) = a_i`,
		`i = 1, 2, 3`.
	</span>
	说明在正交标架下, `bm a` 与基向量 `bm e_i` 的内积就是 `bm a` 的第 `i`
	个坐标. 特别, 当 `bm a` 为单位向量时, 又有
	<span class="formula">
		` a_i = bm a * bm e_i = cos (:bm a, bm e_i:)`.
	</span>
	角 `(:bm a, bm e_i:)`, `i = 1, 2, 3`, 称为方向 `bm a` <b>方向角</b>,
	其余弦值称为方向 `bm a` 的<b>方向余弦</b>. 由 `|bm a| = 1` 知
	<span class="formula">
		`sum_(i=1)^3 cos^2 (:bm a, bm e_i:) = 1`.
	</span>
	所以方向余弦的平方和恒等于 1.
</p>

<h2>向量的外积</h2>

<h3>向量外积的定义与性质</h3>

<p class="definition">
	<b>外积</b>定义为映射 `(xx): V xx V to V`:
	<span class="formula">
		`|bm a xx bm b| = |bm a| |bm b| sin (:bm a, bm b:)`,
	</span>
	当 `|bm a xx bm b| != 0` 时, 它的方向服从<b>右手定则</b>,
	即当右手四指从 `bm a` 以小于 `pi` 的转角弯向 `bm b` 时,
	拇指就指向 `bm a xx bm b`:
	<span class="formula">
		`bm a xx bm b _|_ bm a`, `quad` `bm a xx bm b _|_ bm b`, `quad`
		`(bm a, bm b, bm a xx bm b)` 成右手系.
	</span>
	`bm a` 和 `bm b` 中有一个为 `bb 0` 时, 规定 `bm a xx bm b = bb 0`.
</p>

<ol class="corollary">
	<li>`bm a //// bm b` 当且仅当 `bm a xx bm b = 0`
		(零向量与任意向量都共线).
	</li>
	<li>设 `bm a != bb 0`, 则对任意 `bm b in E^3`, 令
		`bm b_2` 是 `bm b` 沿方向 `bm a` 的外射影, 则
		<span class="formula">
			`bm a xx bm b = bm a xx bm b_2`,
		</span>
	</li>
</ol>

<ol	class="theorem" id="the-outer-product-property">
	外积是反对称双线性映射.
	设 `bm a, bm b, bm c in E^3`, `lambda in RR`, 则它们满足:
	<li>反交换律. `bm b xx bm a = -(bm a xx bm b)`;</li>
	<li>线性性. `(bm a + bm b) xx bm c = bm a xx bm c + bm b xx bm c`,
		`quad (lambda bm a) xx bm b = lambda (bm a xx bm b)`.
	</li>
</ol>

<p class="remark">
	一般的空间中, 可以将满足<a class="ref"
		href="#the-outer-product-property"></a>的映射定义为外积.
	如微分几何中的外微分就满足上述外积的性质.
</p>

<h3>向量外积的坐标表示</h3>

<h4>仿射标架</h4>

<p>	取定仿射标架 `{O";" bm d_1, bm d_2, bm d_3}`, `bm a = (a_1, a_2, a_3)`,
	`bm b = (b_1, b_2, b_3)`, 则
	<span class="formula">
		` bm a xx bm b
		= (sum_(i=1)^3 a_i bm d_i) xx (sum_(j=1)^3 b_j bm d_j)`
		`=   (a_2 b_3 - a_3 b_2) bm d_2 xx bm d_3
		  + (a_3 b_1 - a_1 b_3) bm d_3 xx bm d_1
		  + (a_1 b_2 - a_2 b_1) bm d_1 xx bm d_2`
		`= |bm d_2 xx bm d_3, bm d_3 xx bm d_1, bm d_1 xx bm d_2;
		   a_1, a_2, a_3;
		   b_1, b_2, b_3|`.
	</span>
	因此只要知道 `bm d_1, bm d_2, bm d_3` 之间的外积,
	就可以求出任意两个向量的外积.
</p>

<h4>右手正交标架</h4>

<p class="lemma" id="lem-orthogonal-frame-outer-product">
	设 `bm e` 是单位向量, `bm b _|_ bm e`, 则 `bm e xx bm b` 等于
	`bm b` 在以 `bm e` 为法向量的平面上按右手法则旋转一个直角得到的向量.
</p>

<p>	现在取右手正交标架 `{O";" bm e_1, bm e_2, bm e_3}`, 由<a class="ref"
	href="#lem-orthogonal-frame-outer-product"></a> 有
	<span class="formula">
		`bm e_1 xx bm e_2 = bm e_3`, `quad`
		`bm e_2 xx bm e_3 = bm e_1`, `quad`
		`bm e_3 xx bm e_1 = bm e_2`.
	</span>
	于是
	<span class="formula">
		` bm a xx bm b
		= |bm e_1, bm e_2, bm e_3;
		   a_1, a_2, a_3;
		   b_1, b_2, b_3|`,
	</span>
	<span class="formula">
		` |bm a xx bm b|
		= sqrt( |a_2, a_3; b_2,b_3|^2
		      + |a_3, a_1; b_3,b_1|^2
		      + |a_1, a_2; b_1,b_2|^2 )`.
	</span>
</p>

<h2>向量的混合积</h2>

<h3>平面向量混合积的定义与性质</h3>

<p class="definition">
	曲面的一个法向量称为它的一个<b>定向</b>.
	规定当右手拇指指向所给定的法向量时,
	右手四指的环绕方向就是曲面上的绕行方向.
	这个绕行方向也称为曲面的定向.
	<!--
	<br/>
	曲面上由分段光滑曲线围成的封闭区域的<b>定向面积</b>是指,
	当边界的绕行方向与定向相同时, 定向面积等于面积;
	当边界的绕行方向与定向相反时, 定向面积等于面积的相反数.
	-->
</p>

<p class="definition">
	设 `bm n` 是平面 `pi` 的一个单位法向量, `bm a, bm b in pi`.
	由外积定义, `bm n //// bm a xx bm b`, 由于 `bm n != bb 0`,
	存在唯一的 `lambda in RR` 使得 `bm a xx bm b = lambda bm n`.
	称 `lambda` 为 `bm a` 与 `bm b` 关于定向 `bm n`
	的<b>平面向量混合积</b>, 记为 `(bm a, bm b)`. 由定义,
	<span class="formula">
		`bm a xx bm b = (bm a, bm b) bm n`.
	</span>
	`bm a, bm b` 不共线时,
	以 `bm a, bm b`
	为邻边的平行四边形的<b>定向面积</b>或<b>有向面积</b>是指,
	当 `bm a, bm b, bm n` 成右手系时, 定向面积等于面积;
	否则定向面积等于面积的相反数.
	这个定向面积恰好等于 `(bm a xx bm b)`.
</p>

<ol class="corollary">
	<li>两向量共线当且仅当 `(bm a, bm b) = 0`;</li>
	<li>`(bm a, bm b) = -(bm b, bm a)`.</li>
</ol>

<h3>平面向量混合积的坐标表示</h3>

<p>	在平面上取定仿射标架 `{O";" bm d_1, bm d_2}`, 令
	`bm d_3 = bm d_1 xx bm d_2` 为平面的定向, 则
	`{O";" bm d_1, bm d_2, bm d_3}` 是空间中的仿射标架, 且为右手系.
	设 `bm a = a_1 bm d_1 + a_2 bm d_2`,
	`bm b = b_1 bm d_1 + b_2 bm d_2`, 因为
	<span class="formula">
		` bm a xx bm b
		= |bm d_2 xx bm d_3, bm d_3 xx bm d_1, bm d_1 xx bm d_2;
		   a_1, a_2, 0;
		   b_1, b_2, 0|`
		`= |a_1, a_2; b_1, b_2| bm d_3`,
	</span>
	所以
	<span class="formula">
		` (bm a, bm b) = |a_1, a_2; b_1, b_2| |bm d_3|`.
	</span>
</p>

<p>	特别取右手正交标架 `{O";" bm e_1, bm e_2}` 时,
	<span class="formula">
		`(bm a, bm b) = |a_1, a_2; b_1, b_2|`.
	</span>
</p>

<h3>两向量共线的条件 (仿射坐标)</h3>

<p class="theorem">
	平面上两向量 `bm a = (a_1, a_2)`, `bm b = (b_1, b_2)`
	共线当且仅当它们所围的平行四边形的定向面积
	<span class="formula">
		`|a_1, a_2; b_1, b_2| = 0`.
	</span>
</p>

<p class="theorem">
	平面上三点 `A(a_1, a_2)`, `B(b_1, b_2)`, `C(c_1, c_2)`
	共线当且仅当它们所围的三角形的定向面积
	<span class="formula">
		`1/2 |a_1, a_2, 1; b_1, b_2, 1; c_1, c_2, 1|
		= 0`.
	</span>
</p>

<h3>二重外积公式</h3>

<p class="theorem">
	<b>二重外积公式</b>
	设 `bm a, bm b, bm c in E^3`, 则
	<span class="formula">
		` bm a xx (bm b xx bm c)
		= (bm a * bm c) bm b - (bm a * bm b) bm c`
		`= |bm b, bm c; bm a * bm b, bm a*bm c|`.
	</span>
</p>

<p class="example">
	<b>Jacobi 等式</b>
	<span class="formula">
		`sum bm a xx (bm b xx bm c) = bb 0`.
	</span>
	上式遵循<b>轮换求和</b>约定, 相当于
	<span class="formula">
		`bm a xx (bm b xx bm c) + bm b xx (bm c xx bm a) + bm c xx (bm a
		xx bm b) = bb 0`.
	</span>
</p>

<h3>向量混合积的定义与性质</h3>

<p class="definition">
	<b>混合积</b>定义为映射 `(*,*,*): V^3 to RR`:
	<span class="formula">
		`(bm a, bm b, bm c) = bm a xx bm b * bm c`.
	</span>
	为使上式有意义, 应当先作外积, 再作内积.
</p>

<p>	给定空间中不共面的三向量 `bm a, bm b, bm c`,
	由它们确定的平行六面体的<b>定向体积</b>或<b>有向体积</b>是指,
	当 `bm a, bm b, bm c` 成右手系时, 定向体积等于体积;
	否则定向体积等于体积的相反数.
	由向量混合积的定义, 这定向体积恰好等于 `(bm a, bm b, bm c)`.
</p>

<p class="theorem">
	三向量 `bm a, bm b, bm c` 共面当且仅当 `(bm a, bm b, bm c) = 0`.
</p>

<p class="proof">
	`bm a, bm b, bm c` 共面
	`iff bm a xx bm c` 与 `bm a xx bm b` 共线
	`iff (bm a xx bm b) xx (bm a xx bm c) = bb 0`
	`iff (bm a xx bm b * bm c) bm a - (bm a xx bm b * bm a) bm c = bb 0`
	`iff bm a xx bm b * bm c = 0`.
</p>

<p class="theorem">
	混合积具有轮换对称性.
	<span class="formula">
		`(bm a, bm b, bm c) = (bm b, bm c, bm a) = (bm c, bm a, bm b)`.
	</span>
	由上式得
	<span class="formula">
		`bm a xx bm b * bm c = bm b xx bm c * bm a = bm a * bm b xx bm c`.
	</span>
	因此, 将混合积定义为 `bm a * bm b xx bm c` 也是一样的.
	进一步可证, 交换混合积中任意两项, 结果相差一个负号.
</p>

<h3>混合积的坐标表示</h3>

<p>	取定仿射标架 `{O";" bm d_1, bm d_2, bm d_3}`, `bm a = (a_1, a_2, a_3)`,
	`bm b = (b_1, b_2, b_3)`, `bm c = (c_1, c_2, c_3)`, 则
	<span class="formula">
		` (bm a, bm b, bm c) = bm a * bm b xx bm c`
		`= |bm d_2 xx bm d_3, bm d_3 xx bm d_1, bm d_1 xx bm d_2;
		   b_1, b_2, b_3;
		   c_1, c_2, c_3|
		   * sum_(i=1)^3 a_i bm d_i`
		`= |a_1, a_2, a_3;
		    b_1, b_2, b_3;
			c_1, c_2, c_3| (bm d_1, bm d_2, bm d_3)`.
	</span>
</p>

<p>	特别, 当取定的标架为右手正交标架 `{O";" bm e_1, bm e_2, bm e_3}` 时,
	<span class="formula">
		`(bm e_1, bm e_2, bm e_3) = 1`.
	</span>
	所以
	<span class="formula">
		`(bm a, bm b, bm c)`
		`= |a_1, a_2, a_3;
		    b_1, b_2, b_3;
			c_1, c_2, c_3|`.
	</span>
</p>

<h3>三向量共面的条件 (仿射坐标)</h3>

<p class="theorem">
	空间中三向量 `bm a = (a_1, a_2, a_3)`, `bm b = (b_1, b_2, b_3)`,
	`bm c = (c_1, c_2, c_3)` 共面当且仅当它们所围的平行六面体的定向体积
	<span class="formula">
		`|a_1, a_2, a_3;
		  b_1, b_2, b_3;
		  c_1, c_2, c_3| = 0`.
	</span>
</p>

<p class="theorem">
	空间中四点 `A(a_1, a_2, a_3)`, `B(b_1, b_2, b_3)`, `C(c_1, c_2, c_3)`,
	`D(d_1, d_2, d_3)` 共面当且仅当它们所围的四面体的定向体积
	<span class="formula">
		`1/6 |a_1, a_2, a_3, 1;
		  b_1, b_2, b_3, 1;
		  c_1, c_2, c_3, 1;
		  d_1, d_2, d_3, 1| = 0`.
	</span>
</p>

<h3>Lagrange 恒等式</h3>

<p class="theorem">
	<b>Lagrange 恒等式</b>
	设 `bm a_1, bm a_2, bm b_1, bm b_2 in E^3`, 则
	<span class="formula">
		` (bm a_1 xx bm a_2) * (bm b_1 xx bm b_2)
		= |bm a_1 * bm b_1, bm a_1 * bm b_2;
		   bm a_2 * bm b_1, bm a_2 * bm b_2|
		= "det"(bm a_i * bm b_j)_(2 xx 2)`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	利用混合积的轮换对称性与二重外积公式,
	<span class="formula">
		左边 = `bm a_2 xx (bm b_1 xx bm b_2) * bm a_1
		= |bm b_1, bm b_2; bm a_2 * bm b_1, bm a_2 * bm b_2| * bm a_1`
		= 右边.
	</span>
</p>

<ol class="corollary" id="cor-lagrange-equality">
	<li>`|bm a xx bm b|^2 + (bm a * bm b)^2 = |bm a|^2 |bm b|^2`;</li>
	<li>`(bm a_1, bm a_2, bm a_3)(bm b_1, bm b_2, bm b_3)
		= "det"(bm a_i * bm b_j)_(3 xx 3)`;
	</li>
	<li>`(bm a, bm b, bm c)^2 = (bm a xx bm b, bm b xx bm c, bm c xx bm
		a)`;
	</li>
	<li>`sum_(bm a, bm b, bm c) (bm a xx bm b) * (bm c xx bm d) = 0`;</li>
	<li>`bm a_1 xx (bm a_2 xx (bm b_1 xx bm b_2)) = |
		bm a_1 xx bm b_1, bm a_1 xx bm b_2;
		bm a_2 * bm b_1, bm a_2 * bm b_2|`;
	</li>
	<li>` (bm a xx bm b) xx (bm c xx bm d)
		= (bm c, bm d, bm a) bm b - (bm b, bm c, bm d) bm a`
		`= (bm d, bm a, bm b) bm c - (bm a, bm b, bm c) bm d`.
	</li>
</ol>

<ol class="proof">
	<li>用 Lagrange 恒等式计算 `|bm a xx bm b|^2`;</li>
	<li>用坐标计算, 注意矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积;</li>
</ol>

<p class="example">
	(二维勾股定理)
	直角三棱锥的斜面面积的平方等于其他三个直角面面积的平方和.
</p>

<p class="proof">
	设 `OABC` 是直角三棱锥, `O` 为直角顶点, 于是 `angle AOB, angle BOC,
	angle COA` 是直角, `triangle ABC` 是它的斜面. 分别记
	`vec(OA), vec(OB), vec(OC)` 为 `bm a, bm b, bm c`,
	则
	<span class="formula">
		`bm a * bm b = bm b * bm c = bm c * bm a = 0`.
	</span>
	由<a class="ref" href="#cor-lagrange-equality"></a>的 1 有
	<span class="formula">`{:
		|vec(AB) xx vec(AC)|^2
		,= |vec(AB)|^2 |vec(AC)|^2 - (vec(AB)*vec(AC))^2;
		,= (|bm a|^2 + |bm b|^2) (|bm a|^2 + |bm c|^2)
		   - ((bm b - bm a) * (bm c - bm a))^2;
		,= (|bm a|^2 + |bm b|^2) (|bm a|^2 + |bm c|^2) - |bm a|^4;
		,= |bm a|^2 |bm b|^2 + |bm b|^2 |bm c|^2 + |bm c|^2 |bm a|^2.
	:}`</span>
	即得证.
</p>

<h2>四元数与三维旋转*</h2>

<p class="definition">
  <b>Hamilton 四元数</b>形如 `q = w + x i + y j + z k`, 其中
  `w, x, y, z in RR`,
  <span class="formula">
    `i^2 = j^2 = k^2 = i j k = -1`.
  </span>
  四元数之间的乘法由上式及分配律完全定义, 该乘法<b>不满足交换律</b>,
  且每个非零的四元数都有乘法逆元, 即, 四元数关于该乘法构成一个除环.
</p>

<p class="example">
  `k^2 = -1` 两边同时右乘 `k^-1` 得 `k = -k^-1`, 即 `k^-1 = -k`. 同理
  <span class="formula">
    `i^-1 = -i`, `quad j^-1 = -j`, `quad k^-1 = -k`.
  </span>
  我们来说明 `i, j, k` 之间的乘法不可交换:
  `i j k = -1` 两边同时右乘 `k` 得 `-i j = - k`, 即 `i j = k`;
  继续两边同时右乘 `j` 得 `-i = k j`. 类似也可以施以左乘, 最终得到
  <span class="formula">
    `i j = k = - j i`,
    `quad j k = i = - k j`,
    `quad k i = j = - i k`.
  </span>
</p>

<p class="definition">
  <b>四元数的三角形式</b>
  一个四元数可以看作标量部分 `w` 与矢量部分 `bm v = x i + y j + z k` 之和.
  `bm v` 是基底 `i, j, k` 张成的三维线性空间中的向量.
  四元数的长度 (模) 定义为
  <span class="formula">
    `|q| = sqrt(w^2+x^2+y^2+z^2)`
    `= sqrt(w^2 + v^2) quad`, 其中 `v = |bm v|`.
  </span>
  于是, 四元数可以写为模长与单位 (长度的) 四元数的乘积 `q = |q| hat q`,
  单位四元数有三角表示
  <span class="formula">
    `hat q = cos theta + hat bm v sin theta`, `quad hat bm v` 为单位向量.
  </span>
  因为实数与四元数的乘法可交换, 两个四元数相乘,
  可以把它们的模长与单位四元数分别相乘:
  <span class="formula">
    `q_1 q_2 = |q_1| |q_2| hat q_1 hat q_2`.
  </span>
</p>

<ol class="proposition" id="prop-quaterion-mul-vec">
  在四元数乘法的意义下,
  <li>`bm v_1 bm v_2 = bm v_1 xx bm v_2 - bm v_1 * bm v_2`;</li>
  <li>`(w_1 + bm v_1)(w_2 + bm v_2)`
  `= (w_1 w_2 - bm v_1 * bm v_2) + w_1 bm v_2 + w_2 bm v_1 + bm v_1 xx bm v_2`;
  </li>
  <li>(类比 De Moivre 公式)
    `(cos alpha + bm e sin alpha)(cos beta + bm e sin beta)`
    `= cos (alpha+beta) + bm e sin(alpha+beta)`, `bm e` 为任意单位向量;
  </li>
  <li>`(cos alpha + bm e sin alpha)^-1 = cos alpha - bm e sin alpha`, `bm
  e` 为任意单位向量.</li>
</ol>

<p class="proof">
  2, 3, 4. 是 1. 的直接推论. 下证 1. 设 `bm v_lambda = x_lambda i + y_lambda j + z_lambda k`, `lambda = 1, 2`, 则左边等于
  <span class="formula">
    `(x_1, y_1, z_1) [i;j;k] (i, j, k) [x_2;y_2;z_2]`
    `= (x_1, y_1, z_1) [-1, k, -j; -k, -1, i; j, -i, -1] [x_2;y_2;z_2]`
    `= -(x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2) + (y_1 z_2 - z_2 y_1) i`
    `+ (z_1 x_2 - x_2 z_1) j + (x_1 y_2 - x_2 y_1) k`,
  </span>
  等于右边.
</p>

<ol class="proposition">
  <b>三维旋转公式</b>
  三维向量 `bm v` 绕单位向量 `bm e` 按右手螺旋方向旋转 `theta`
  角, 所得结果向量 `bm v'` 有
  <li><b>向量表示</b>
    <span class="formula">
      `bm v' = bm v^|| + bm v^_|_ cos theta + bm e xx bm v sin theta`,
    </span>
    其中 `bm v^||`, `bm v^_|_` 分别是 `bm v` 的平行和垂直 `bm e` 的分量.
  </li>
  <li><b>矩阵表示</b> `bm v' = bm T bm v`, 其中 `bm e = (a, b, c)^T`,
    <span class="formula">
      `bm T = (1-cos theta) bm e bm e^T`
      `+ cos theta bm I`
      `+ sin theta [
        0, -c, b;
        c, 0, -a;
        -b, a, 0
      ]`.
    </span>
  </li>
  <li><b>四元数表示</b>
    <span class="formula">
      `bm v' = q bm v q^-1`,
      `quad q = cos(theta//2) + bm e sin(theta//2)`.
    </span>
    <span class="img md" title="三维旋转 [制图: 一碗星空汤]">
      <img src="../img/quaternion-rotate.png"/>
    </span>
  </li>
</ol>

<ol class="proof">
  <li> 设 `bm e` 与 `bm v` 不共线, 由二重外积公式,
    将 `bm v` 分解到平行 `bm e` 和垂直 `bm e` 的方向上:
    <span class="formula">
      `bm v = bm v^|| + bm v^(_|_)`
      `= (bm v * bm e) bm e + (bm e xx bm v) xx bm e`.
    </span>
    如图, `bm e, bm v^(_|_), bm e xx bm v` 成右手系.
    `bm v'` 等于将 `bm v^(_|_)` 旋转 `theta` 角后, 再加上 `bm v^||`:
    <span class="formula">
      `bm v' = bm v^|| + bm v^(_|_) cos theta + bm e xx bm v sin theta`.
    </span>
  </li>
  <li>记 `bm v = (x, y, z)`, `k = bm v * bm e` `= a x + b y + c z`,
    于是
    <span class="formula">
      `bm v^|| = (k a, k b, k c)`,
      `quad bm v^_|_ = bm v - bm v^||`
      `= (x - k a, y - k b, z - k c)`.
    </span>
    由 1. 得
    <span class="formula">
      `bm v' = [
        k a + (x-k a) cos theta + (b z-c y) sin theta;
        k b + (y-k b) cos theta - (a z-c x) sin theta;
        k c + (z-k c) cos theta + (a y-b x) sin theta;
      ]`,
    </span>
    考虑各分量中 `x, y, z` 的系数, 就得到矩阵 `bm T`.
  </li>
  <li>记 `alpha = theta//2`, 有
    <span class="formula align">
      `q bm v q^-1`
      `= (cos alpha + bm e sin alpha) bm v (cos alpha - bm e sin alpha)`
      <br/>
      `= bm v cos^2 alpha - bm (e v e) sin^2 alpha`
      `+ (bm e bm v - bm v bm e) sin alpha cos alpha`<br/>
      `= bm v cos^2 alpha - bm (e v e) sin^2 alpha`
      `+ 2 bm e xx bm v sin alpha cos alpha`.
    </span>
    `bm (e v e)` 可以分解为以下两式之和:
    <span class="formula">
      `bm (e v)^|| bm e`
      `= -(bm v * bm e) bm e`
      `= - bm v^||`,<br/>
      `bm (e v^(_|_) e)`
      `= (bm e xx bm v^(_|_)) xx bm e`
      `= bm v^(_|_)`,
    </span>
    从而
    <span class="formula">
      `q bm v q^-1`
      `= (bm v^|| + bm v^(_|_))cos^2 alpha + (bm v^|| - bm v^(_|_))sin^2 alpha`
      `+ bm e xx bm v sin theta`
      `= bm v'`.
    </span>
  </li>
</p>

<script src="../../js/note.js?type=math"></script>
</body>
</html>
